Родился 21 июля 1905 года в селе Анна, ныне посёлок городского типа Аннинского района Воронежской области, в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1921 года. Окончил начальную школу. Работал в селе.
Довоенная служба
В 1920—1921 годах в качестве бойца участвовал составе ЧОН в ликвидации банд близ станиц Таловая и Морозовская.
В Красной Армии с апреля 1921 года. В 1932 году служил старшим секретарем начальника вооружений РККА М. Н. Тухачевского, затем — сотрудником для особых поручений при нём же. Окончил Орджиникидзевскую пехотную школу, в 1937 году — Военную академию имени М. В. Фрунзе. Работал курсовым командиром в училище имени Верховного Совета РСФСР.
Участник советско-финляндской войны 1939—1940 годов.
Во время Великой Отечественной войны
На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. В начале войны — начальник штаба 220-й стрелковой дивизии. В 1941—1943 годах — заместитель начальника Оперативного отдела штаба 6-й, затем 5-й армии; в 1943—1944 годах — командир 207-й стрелковой дивизии, в 1944—1945 годах — командир 79-го стрелкового корпуса 3-й ударной армии.
Командир 79-го стрелкового корпуса (3-я ударная армия, 1-й Белорусский фронт) генерал-майор Перевёрткин С. Н. в Берлинской операции 16 апреля — 8 мая 1945 года умело руководил соединениями корпуса при прорыве обороны противника, выходе к столице гитлеровской Германии — Берлину, в уличных боях в городе.
Части корпуса, в состав которого входили три стрелковые дивизии — 150-я генерал-майора Шатилова В. М., 171-я полковника Негоды А. И. и 207-я полковника Асафова В. М., первыми ворвались в центр столицы гитлеровского рейха — Берлина, рассекли вражескую группировку, штурмом взяли рейхстаг. Контрразведчики его корпуса под командованием подполковника Клименко И. И. в бункере имперской канцелярии обнаружили трупы Гитлера и Геббельса.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 мая 1945 года за умелое руководство войсками корпуса, образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками генерал-майору Перевёрткину Семёну Никифоровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6734).
Послевоенная служба
В 1946—1953 годах — заместитель начальника Главного управления боевой подготовки Сухопутных войск Советской Армии.
После ареста Л. П. Берия и увольнения его бывших подчинённых, был направлен на работу в МВД СССР. С 8 июля 1953 по 15 марта 1956 года — заместитель министра внутренних дел СССР по войскам, с 15 марта 1956 по 13 января 1960 года — первый заместитель министра внутренних дел СССР. В 1958 году руководил оперативной группой МВД при подавлении массовых беспорядков в г. Грозном.
18 февраля 1958 года присвоено звание «генерал-полковник».
С января 1960 по май 1961 года — начальник Управления военных учебных заведений Сухопутных войск Министерства обороны СССР.
Смерть
Могила Перевёрткина на Новодевичьем кладбище Москвы.
Погиб при исполнении служебных обязанностей в авиационной катастрофе 17 мая 1961 года (крушение вертолёта МИ-4) вместе с Героем Советского Союза генералом армии В. Я. Колпакчи. Смерть долгое время замалчивалась. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве (участок 8).
Награды
Медаль «Золотая Звезда» Героя Советского Союза (№ 6734)
2 Ордена Ленина
3 Ордена Красного Знамени
Орден Суворова 2-й степени
Орден Кутузова 2-й степени
Орден Богдана Хмельницкого 2-й степени
Орден Красной Звезды
медаль «XX лет Рабоче-Крестьянской Красной Армии»
Медали
Память
В городе Воронеже именем Героя названа улица и установлена мемориальная доска, в пгт. Анна Воронежской области именем Перевёрткина названа улица.