Выходец Из Польской семьи. Военную карьеру А. П. Турчинский начал рядовым в Первую мировую войну в 1916 г. в 59-й кавалерийской дивизии. Участвовал в Брусиловском прорыве и, по непроверенным данным, получил Один Из низших военных Чинов российской армии.
С декабря 1917 по февраль 1918 г. был рядовым в Красной гвардии, воевал с отрядами Сиверса против формирований атамана Краснова. В феврале 1918 вступил в Красную армию. В 1920 был назначен командиром эскадрона 33-го Северо-Донецкого полка 6-й кавалерийской дивизии 1-й конной армии, в составе которой штурмовал Каховку и Перекоп, воевал с войсками Врангеля. Орден № 193 Красного знамени получил за то, что одним Из Первых ворвался в Крым. Орден был вручен ему в городе Джанкое лично Из рук М. В. Фрунзе.
Был близко знаком с С. М. Буденным, Л. З. Мехлисом и О. И. Городовиковым. В 1921 г. назначен командиром дивизиона, а в 1922 г. командиром этого же полка. В 1924 году был назначен командиром 63-го кавалерийской полка 2-й кавалерийской дивизии и в этой должности участвовал в боях по ликвидации басмачества На территории Узбекистана. В 1926 году был зачислен слушателем Курсов Востоковедения РККА в г. Ташкенте. В качестве командира 82-го кавалерийского полка 8-й отдельной Туркестанской кавалерийской бригады участвовал в боях по ликвидации басмачества На территории Туркмении. С 1933 по 1936 годы был слушателем военной академии им. М. В. Фрунзе (среди прочего, овладел английским языком, а также такими редкими среди командования Красной армии языками, как фарси и пушту). Изначально командование прочило его На дипломатическую службу.
В 1940 году А. П. Турчинский был назначен командиром 20-й горнострелковой Краснознамённой дивизии, которая вскоре после начала ВОВ была направлена На территорию Ирана. В 1942 году дивизия была направлена На Кавказ. В 1943 г. был назначен командиром 395 стрелковой дивизии и в её составе принимал участие в боях На Северном Кавказе. В этом же году был переведен командиром 2-й гвардейской стрелковой дивизии в составе 18-й армии. В ночь На 3 ноября 1943 года дивизия под непосредственным командованием А. П. Турчинского одной Из Первых высадилась под Керчью в р-не сел Маяк-Опасное. За удачное завершение данной операции А. П. Турчинскому Было присвоено звание Героя Советского Союза. Благодарное население Керчи подарило Турчинскому массивный Серебряный кубок с именной гравировкой. С 1944 года и До конца войны А. П. Турчинский командовал 55-й гвардейской стрелковой Иркутской дивизией. Войну закончил в Берлине.
После войны, в 1956 году, по состоянию здоровья уволился в запас. С 1963 года и До конца жизни (29 января 1979 года) проживал с семьей в г. Симферополе На ул. Киевской. Похоронен На кладбище «Абдал» в Симферополе, Крым.
Послужной список
С 02.09.1940 г. по 08.04.1943 г. в 20 гсд
С 24.09.1942 г. по 21.03.1943 г. полковник в 20 гсд
С 24.09.1942 г. по 21.03.1943 г. генерал-майор в 20 гсд